三维连续方程
当流体流经一个完整的管道时，进入管道的流体体积必须与离开管道的流体体积相等，即使管道的直径有所变化。
因此我们可以将连续性方程定义为基于质量守恒原理的方程。我们可以找到关于……的详细信息连续性方程在我们之前的帖子中。
因此，对于流经管道每个横截面的流体，每秒的流体量将是常数。
假设我们有一个流体流过的管道。我们考虑一个流体元件，其长度分别为X、Y和Z方向上的dx、dy和dz。
进入表面的流体质量ABCD / s =密度x x方向上的速度x面积ABCD
进入表面的液体质量ABCD / s = ρ x u x dy.dz = ρ u dy.dz
每秒离开面液的质量EFGH = (ρ u dy.dz) + (
∂x /∂
) (ρ u dy。dz) dx
质量增益=流入系统的质量流量-流出系统的质量流量
质量增益=进入表面的流体质量ABCD / s -离开表面的流体质量EFGH / s
因此，x方向上的质量增益方程如下
x方向的质量增益= ρ u dy.dz - [(ρ u dy.dz) + (
∂x /∂
) (ρ u dy.dz) dx]
x方向质量增益= - (
∂x /∂
) (ρ u dx.dy.dz)
类似地，我们将有以下方程的质量增益在y方向和z方向
y方向质量增益= - (
∂/∂y
) (ρ v dx.dy.dz)
z向质量增益= - (
∂/∂z
(ρ w dx.dy.dz)
质量净增益= - [
∂x /∂
(ρu) +
∂/∂y
(ρv) +
∂/∂z
(ρw)] dx.dy.dz
根据质量守恒原理，在流体元件中，质量既不会产生，也不会破坏。因此，流体元件单位时间内质量的净增加应等于流体元件质量的增加速率。
流体元件中流体的质量= ρ dx.dy.dz
流体元件中质量的增加速率=
∂
ρ
/∂t
．dx.dy.dz
因此,
- - - - - - (
∂x /∂
(ρu) +
∂/∂y
(ρv) +
∂/∂z
(ρ w)] dx.dy.dz =
∂
ρ
/∂t
．dx.dy.dz
- - - - - - (
∂x /∂
(ρu) +
∂/∂y
(ρv) +
∂/∂z
(ρw)] =
∂
ρ
/∂t
∂ρ/∂t+∂x /∂(ρu) +∂/∂y(ρv) +∂/∂z(ρw) =0
上式是笛卡儿坐标系下最一般形式的连续性方程。这个方程适用于下列流体流动类型。
1.稳定和非稳定流动
2.均匀和非均匀流动
3.可压缩流和不可压缩流
对于稳定流动，连续性方程如下所示
稳定流动,
∂
ρ
/∂t = 0
∂x /∂(ρu) +∂/∂y(ρv) +∂/∂z(ρw) =0
对于不可压缩流动，连续性方程将在这里提到
对于不可压缩流动，ρ是常数，我们会得到下面的连续性方程
∂u /∂x+∂v /∂y+∂w /∂z＝0
上式为三维连续方程
对于二维连续方程，w = 0
∂u /∂x+∂v /∂y＝0
现在我们将继续讨论连续方程在柱极坐标下的表达在下一篇文章中。
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参考:
流体力学班萨尔(r.k. Bansal)著
图片由:谷歌
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