现在，我们将借助这篇文章进一步推导法向应力和切向应力的表达式。我们会建议您先审核主平面和主应力再做决定。
让我们在这里看看正切应力的推导
让我们考虑一个截面面积均匀，单位厚度的矩形截面ABCD，如下图所示。
σX在AB面和CD面上X方向的拉应力是多少
σY也是在AD和BC面上作用于Y方向的拉应力吗
τ为作用于平面或矩形截面ABCD上的剪应力，如图所示
假设一个斜截面或斜截面的声发射与平面AB的法向面夹角θ，我们将在此推导出斜截面声发射的法向应力和切向应力或剪应力的表达式。
让我们把注意力集中在三角形ABE上。现在我们要算出作用在矩形杆或平面ABCD上的力是由上面讨论的应力引起的。
如果我们在这里分析作用在三角形ABE上的应力，我们会得出结论，有6个力作用在三角形ABE上。现在，我们把每个力都写在这里对于三角形ABE的每个面。
作用在三角形ABE面AB上的力
由拉应力σ引起的力x=σx．AB
剪切应力τ = τ。AB
我们已经考虑过矩形平面ABCD具有单位厚度，因此面AB的面积为AB x 1 = AB
作用在三角形ABE面AE上的力
因正应力σ而产生的力n=σn．AE
切向应力σ引起的力t=σt．AE
我们在上面已经考虑到矩形平面ABCD具有单位厚度，因此面AE的面积为AE x 1 = AE
作用在三角形ABE面BE上的力
由拉应力σ引起的力Y=σY．是
剪切应力τ = τ。是
上面我们已经考虑到矩形平面ABCD具有单位厚度，因此面BE的面积将是BE x 1 = BE
现在我们将沿着声发射斜切面和垂直于声发射斜切面分解上述力
我们可以参考下图，力沿着斜截面声发射和垂直于斜截面声发射进行分解和显示。
让我们首先考虑作用于斜面的力，我们将得到下面的方程
σn．AE =σx．AB Cos θ + τ。AB Sin θ + σY．等于Sin θ + τ。是Cosθ
σn=σx．(AB/AE) Cos θ + τ。(AB/AE) Sin θ + σY．(BE/AE) Sin θ + τ。(是/ AE) Cosθ
σn=σx．Cos θ Cos θ + τ。Cos θ Sin θ + σY．Sin θ Sin θ + τ。Sin θ Cos θ
现在让我们考虑作用在斜截面上的力，我们将得到下面提到的方程
σt．AE =σx．AB Sin θ - τ。AB Cos θ - σY．等于Cos θ + τ。是Sinθ
σt=σx．(AB/ AE) Sin θ - τ。(AB/ AE) Cos θ - σY．(BE/ AE) Cos θ + τ。(BE/ AE) Sin θ
σt=σx．Cos θ Sin θ - τ。Cos θ Cos θ - σY．Sin θ Cos θ + τ。Sin θ Sin θ
σt=(σx- - - - - -σY) Sin θ Cos θ - τ。因为2θ+τ。罪2θ
σt=(σx- - - - - -σYSin θ Cos θ + (- τ) (Cos2θ-τ。罪2θ)
σt=(σx- - - - - -σY) Sin θ Cos θ - τ Cos2θ
主平面位置
一个只受正应力即拉应力或压应力作用的平面称为主平面。主平面不会受到剪应力的影响，即会出现零剪应力或切向应力。
σt= 0
(1/2) x(σx- - - - - -σY) (τ Cos2θ = 0
(1/2) x(σx- - - - - -σY) sin2 θ = τ Cos2θ
θ = 2 τ / (σx- - - - - -σY）
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参考:
材料强度，R. K. Bansal著
图片由:谷歌
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